तारों की लंबाई गुणोत्तर श्रेणी (ज्योमेट्रिकल प्रोग्रेशन) में होती है और जर्मनी में श्रेणी का अनुपात 1.875, परंतु ब्रिटेन में 1.89 लिया जाता है।
12.
अनन्त पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी का योग उसी दशा में कन्वर्ज करेगा जब उस श्रेणी का सार्व अनुपात का निरपेक्ष मान 1 से कम हो।
13.
उन्होने इसी कक्षा मे बीजगणित की तीनों श्रेणियो-समान्तर श्रेणी, गुणोत्तर श्रेणी और हरात्मक श्रेणी को पढ़ लिया था, जो कि आजकल इंटर मीडिएट कक्षा मे पढ़ाई जाती है ।
14.
आज देखिये-एक तरफ लोग कहते हैं की घोर कलयुग आ चुका है और-दूसरी ओर देखिये-गुरुओं की संख्या गुणोत्तर श्रेणी [geometrical series] में बढ़ रही है ; नए-नए गुरु, नए-नए उनके शास्त्र, नए-नए उनके आश्रम और नया-नया उनका दर्शन ।
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